리카르도의 선형적인 게슈탈트

뫼비우스띠 풀렸다
Möbius strip unravelled

수학자들이 75년의 무한 고리의 비밀을 풀었다 Mathematicians solve 75-year-old mystery of infinite loop's shape. Louis Buckley

The Möbius strip has inspired artists — such as Max Escher — as well as mathematicians. M.C. Escher

Eugene Starostin 박사의 책상이 사각형의 종이들로 어지럽혀져 있습니다. 그는 그중 하나를 집어들었습니다. 그리고 그걸 한번 꼬아서 끝을 핀으로 붙였습니다. 그 결과 종이는 아름다운 단순함 - 즉 3차원에서 무한함의 형태를 보여주는 - 을 보여줍니다. "보세요", 손가락으로 띠의 표면을 따라가면서 말하길, "어떤 쪽을 선택하더라도, 처음 시작했던곳으로 돌아옵니다"  

Eugene Starostin`s desk is littered with rectangular pieces of paper. He picks one up, twists it, and joins the two ends with a pin. The resulting shape has a beautiful simplicity to it — the mathematical symbol for infinity () in three-dimensional form. "Look," he says, as he traces his finger along its side, "whatever path you take, you always end up where you started."

1858년 두명의 독일 수학자에 의해 각각 따로
발견되어졌지만, 오직 둘중에 한명인 뫼비우스의 이름을 따서 붙여진 뫼비우스 띠는 예술가들을 매혹시키게하고 과학 수업을 멋지게 해주었습니다.  (사람들이 과학에 매료되게 했다는 의미 인듯함)
Discovered independently by two German mathematicians in 1858 — but named after just one of them — the Möbius strip has beguiled artists, illuminated science lessons and stubbornly resisted definition.

쉽게 말하자면, 지금까지 박사와 그의 동료인 Gert van der Heijden는 (둘은 런던 University College의 출신) 수학자들을 75년간이나 당황케 했던 수수께끼를 - 즉 뫼비우스 띠가, 어떠한 3차원 형태를 취할것이냐를 예측하는- 풀어온셈입니다.
Until now, that is. Starostin and his colleague Gert van der Heijden, both of University College London, have solved a conundrum that has perplexed mathematicians for more than 75 years — how to predict what three-dimensional form a Möbius strip will take.

이 띠는 수학자들이 흔히 "가전면" 이라고 부르는 형테에서 만들어 졌습니다.
즉, 구체와는 다르게 그 형태를 파괴 하지 않더라도 평면화가 가능하다는 의미입니다.
The strip is made from what mathematicians call a 'developable' surface, which means it can be flattened without deforming its shape — unlike, say, a sphere.

"가전면"이 뫼비우스띠의 형태를 취하면, 그 가전면은 저장된 최소의 탄성 에너지의 상태로 다시 되돌아가려고 합니다. 즉, 탄성이 있는 고무줄이 당겨 졌을때 다시 수축하려는 이치와 흡사합니다. (즉 사각형 종이를 뫼비우스 띠의 형태로 뒤틀다가 놔버리면, 다시 평평하게 펴지는 현상을 의미하는것 같습니다.)
When a developable surface is formed into a Möbius strip, it tries to return to a state of minimum stored elastic energy, like an elastic band springing back after being stretched.
하지만 어떠한 과학자도 이 형태를 (실제 현상계의) 어떤것에 적용해야 하는지 몰랐습니다.이문제를 해결하려고 시도한 논문은 1930년에 처음 발행되었다고 Starostin 박사는 말합니다."이건 정말 단순한 문제 같이 보였습니다. 아이들도 뫼비우스 띠를 만들수 있으니까요. 하지만 전문가에게 어떻게 (실제로) 이 형태를 적용해야 하는지 물어보면, 그들은 아무것도 모릅니다."
But no one has been able to model what this final form will be. "The first papers looking at this problem were published in 1930," says Starostin. "It seems such a simple question — children can make these things — but ask the experts how to model this shape and we've had nothing."

잊혀진 공식 (Lost equations)

두사람은 20년간 알려지지 않은 공식들로 문제를 풀었습니다. "이 공식들을 이용해서 문제를 풀려고 든다는건 상상만해도 정말 끔찍합니다." 라고 Starostin박사는 말합니다 "실제로 그렇게 해보려고 했지만 불가능했거든요"
The duo solved the problem using a set of unpublished 20-year-old equations. "If you try to write out equations for the shape of the strip without these tools it's a formidable task," says Starostin. "I tried it and it didn't work."

이공식들을 이용해서, 두 사람은 띠의 모양은, 만들어지는데 사용된 사각형의 그 길이와 넓이에 따라 형태가 정해진다는걸 보여줬습니다.
With the equations, the two researchers showed that the strip's shape depends on the length and width of the rectangle it is made from.

Starostin박사는 다른 과학자들에게 이 "잊혀진 공식"을 사용하길 강하게 권고 합니다.
"이건 수학적 이론에 처음 적용되는 공식입니다. 기계학 등의 다른 분야의 전문가들은 이런 공식이 있는지 조차도 모릅니다."
Starostin wants to alert other scientists to the existence of these forgotten mathematical tools. "This is the first application of this mathematical theory. Other communities, such as experts in mechanics, don't know of its existence."

다른 분야의 과학자들은 이러한 적용을 대단히 높게 평가하고 있습니다. "그 공식들은 어떠한 (사각형의 종이를 뒤틀어서 만드는) 뫼비우스 띠에도 적용 가능합니다" 라고 스위스 연방 과학 연구소의 수학자 Maddocks는 말합니다. "탄소 층로 이루어진 Carbon nanotubes 등의 물질 연구에 유용합니다."
Scientists in many different fields might find the model useful. "The equations apply to any rectangular strip that twists and bends," says John Maddocks, mathematician at the Swiss Federal Institute of Technology in Lausanne. "They might be useful for carbon nanotubes, for example, which are made of sheets of carbon."

이러한 연구는 생물의 분자의 형태를 이해하거나,  수화기의 끈이 왜 왼쪽이나 오른쪽으로 휘는지 등을 밝히는 곳에도 적용시킬수 있을 거라고 Maddocks은 말합니다.
이 연구는 네이쳐(Nature Materials)에도 실렸습니다
The same approach could also be applied to understanding the shapes of biological molecules, or to explain why a telephone handset cord coils both to the left and to the right, says Maddocks. The work is published in Nature Materials¹.

조각과 컴베이어 벨트(Sculpture and conveyor belts)

예술과 수학은, 사각형의 종이를 가지고 놀면서, 뫼비우스 띠를 동시에, 또 각기 다른 방법으로 발견했습니다. August Möbius가 뫼비우스 띠를 파리의 과학 연구소에 최초로 제시하고 난뒤에, 스위스의 예술가인 Max Bill 또한 자신이 이 띠를 발견한것으로 생각하고, 끝이없는 이 띠의 이름을 "불 속에서 불타오른는 화염"이라고 지었다고 합니다.
Art and mathematics discovered the Möbius strip independently of one another, and in the same way — by playing with pieces of paper². Many years after August Möbius presented his discovery to the Academy of Sciences in Paris, the Swiss artist Max Bill thought he had invented a new shape upon creating his 1936 sculpture, Endless Ribbon, designed to look like "flames rising from a fire".

그때부터 뫼비우스띠는 많은 예술가, 건축가, 시인에게 영감을 주었으며 심지어
롤러코스터의 디자인에도 영향을 줬습니다. 컨베이어 벨트 또한 뫼비우스 띠에 영향을 받았습니다. 왜냐면 양면을 모두 사용가능 하도록 뫼비우스의 띠의 원리를 이용해서 앞뒷면을 뒤집어 쓰면, 그만큼 사용기간이 길어졌기 때문입니다. 이같은 원리는 녹화 테잎등에도 적용되어서, 재생시간을 더 길게 할수가 있었습니다.
Since then the Möbius strip has inspired numerous artists, architects, poets and even roller-coaster designers. Conveyor belts are manufactured as Möbius strips, because the entire area of the belt receives the same amount of wear, so it lasts longer. The same goes for recording tapes, as it doubles the playing time.

그러나 Starostin 박사는 뫼비우스 띠를 넘어서는 목표를 가지고 있습니다. "이 공식은
또한 사각의 형태가 아닌 모양을 모사 하는데 - 즉 상추나 필름등의 형태를 설계 하는데  - 큰 도움을 줄수가 있습니다. 구겨진 평면을 이해하는데 큰 도움이 될거라 기대하고 있습니다"
Starostin, however, has set his sights beyond Möbius strips. "The same theory can be used to describe non-rectangular shapes — for example, in trying to model the shape of lettuce leaves and also on chemical films. We also hope this will help us understand crumpling," he adds.

"이걸 한번 보세요" Starostin 박사는 말합니다. "보세요" 컴퓨터 모니터의 크리스마스 트리 장식용 잎(서양호랑가시나무)을 가르키며 말하길 "우리의 목표는 바로 이러한 형태를 연구하는데 있습니다. (공식이 없었더라면)그 얼마나 복잡한 일이 아니겠습니까"
"I want to show you something," says Starostin, leaning forward in his chair. "Look at this." He points to a holly leaf on top of his computer monitor. "One of my targets is to work out the shape of this. Just look how complicated it is!"

  요지는..
뫼비우스 띠가, 잊혀져 있던 어떠한 수학 공식을 이용해서, 간단히 설명이 가능해졌고...
이를 이용해서 각종 휘어진 형태의 물체를 (생물의 분자부터 수화기의 배배 꼬인 선까지) 모두 원리 규명이 가능해졌다는겁니다.
  또한. 이 원리를 이용해서 평평하지 않은 표면을 가진 물질들(상추나 나무잎등)의
표면을 수학적으로 풀어내는데 계속 연구해 나아갈거라는것입니다.